问题:
设 $\psi, f_1, f_2 \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，且满足 $\psi(\xi) = 0$ 对所有 $|\xi| \geqslant 1$.
定义函数 $u_i:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$（$i=1,2$) 为：
$$
\begin{aligned}
u_1(x_1,x_2) &:= \int_{\mathbb{R}} \psi(\xi) f_1(\xi) \,e^{i\xi x_1} e^{i\xi^2 x_2}\,\mathrm{d}\xi, \\
u_2(x_1,x_2) &= \int_{\mathbb{R}} \psi(\eta-10) f_2(\eta)\, e^{i\eta x_1} e^{i\eta^2 x_2}\,\mathrm{d}\eta.
\end{aligned}
$$
证明：存在常数 $C$，其可能依赖于 $\psi$，但不依赖于 $f_1,f_2$，使得
$$
\|u_1 u_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C \|f_1\|_{L^2(\mathbb{R})}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R})}.
$$
解答: (
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先将两个积分同时展开：$$
u_1 u_2(x_1,x_2) = \iint_{\mathbb{R}^2} \psi(\xi)\psi(\eta-10)f_1(\xi)f_2(\eta)\,e^{i(\xi+\eta)x_1} e^{i(\xi^2+\eta^2)x_2}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.
$$
$$
\|F\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2 = \|\widehat{F}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2.
$$
将上式中的乘积 $u_1 u_2$ 代入得到
$$
\widehat{F}(\tau_1,\tau_2) = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint_{\mathbb{R}^2} \left[\iint_{\mathbb{R}^2} e^{i(\xi+\eta-\tau_1)x_1} e^{i(\xi^2+\eta^2-\tau_2)x_2}\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2\right]\psi(\xi)\psi(\eta-10)f_1(\xi)f_2(\eta)\,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\eta.
$$
$$
\int_{\mathbb{R}} e^{i a x}\,\mathrm{d}x = 2\pi\, \delta(a),
$$
$$
\iint_{\mathbb{R}^2} e^{i(\xi+\eta-\tau_1)x_1} e^{i(\xi^2+\eta^2-\tau_2)x_2}\,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2 = (2\pi)^2\,\delta(\xi+\eta-\tau_1)\,\delta(\xi^2+\eta^2-\tau_2).
$$
因此，
$$
\widehat{F}(\tau_1,\tau_2) = (2\pi)\iint_{\mathbb{R}^2} \psi(\xi)\psi(\eta-10)f_1(\xi)f_2(\eta)\,\delta(\xi+\eta-\tau_1)\,\delta(\xi^2+\eta^2-\tau_2)\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.
$$
这意味着 $$\widehat{F}(\tau_1,\tau_2)$$ 的支集（support）包含在如下集合中：
$$
\left\{(\tau_1,\tau_2):\tau_1 = \xi+\eta,\; \tau_2 = \xi^2+\eta^2,\; \xi\in\operatorname{supp}\psi,\; \eta\in\operatorname{supp}\psi(\cdot-10)\right\}.
$$
由题设，$\psi(\xi)=0$ 当 $|\xi|\geqslant 1$，即 $\xi\in[-1,1]$
；而 $\psi(\eta-10)\neq0$ 意味着 $\eta\in[9,11]$.
因此有：
$$
\xi\in[-1,1],\quad \eta\in[9,11].
$$
我们现在把 $(\xi,\eta)\mapsto(\tau_1,\tau_2)$ 看作局部微分同胚，其中：
$$
\tau_1 = \xi + \eta,\quad \tau_2 = \xi^2 + \eta^2.
$$
$$
J =
\begin{pmatrix}
\partial_\xi \tau_1 & \partial_\eta \tau_1 \\
\partial_\xi \tau_2 & \partial_\eta \tau_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2\xi & 2\eta
\end{pmatrix},
\quad
\det J = 2\eta - 2\xi = 2(\eta-\xi).
$$
所以
$$
|J| = 2|\eta-\xi|.
$$
在 $\xi\in[-1,1]$
$\eta\in[9,11]$ 时，有
$$
8 \leqslant |\eta-\xi| \leqslant 12 \quad\Longrightarrow\quad 16 \leqslant |J| \leqslant 24.
$$
因此在变换下，$|J|$ 是严格正 $|J|^{-1}$ 有界
由 Plancherel 我们有
$$
\|u_1 u_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2 = \|\widehat{F}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2.
$$
将 $\widehat{F}(\tau_1,\tau_2)$ 的表达式代入，再用 $\delta$
函数“切片”掉 $(\tau_1,\tau_2)$ 到曲面 $\tau_1=\xi+\eta,\;
\tau_2=\xi^2+\eta^2$，利用变换 $$(\xi,\eta)\mapsto(\tau_1,\tau_2)$$ 和其 Jacobian $|J|$，可得：
在 $(\tau_1,\tau_2)$ 上积分等价于在 $(\xi,\eta)$ 上的积分，
带上 Jacobian 因子 $|J|^{-1}$.
于是可以写出：
$$
\|u_1 u_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2 = (2\pi) \iint_{\mathbb{R}^2} \left|\psi(\xi)\psi(\eta-10)f_1(\xi)f_2(\eta)\right|^2 \frac{1}{|J|}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta.
$$
记 $$H(\xi,\eta) = f_1(\xi)f_2(\eta)$$则显然有
$$
\|H\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2 = \iint |f_1(\xi)|^2|f_2(\eta)|^2\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta = \|f_1\|_{L^2}^2\|f_2\|_{L^2}^2.
$$
并且在被积表达式中
$\psi(\xi)\psi(\eta-10)$ 被有界控制：$$|\psi|\leqslant \|\psi\|_{L^\infty}$$
所以
$$
|\psi(\xi)\psi(\eta-10)|^2 \leqslant \|\psi\|_{L^\infty}^4;
$$
又由于 $$|J|^{-1}\leqslant 1/16$$
于是
$$
\|u_1 u_2\|_{L^2}^2 \leqslant (2\pi) \|\psi\|_{L^\infty}^4 \int_{\mathbb{R}^2} |f_1(\xi)|^2|f_2(\eta)|^2 \frac{1}{|J|}\,\mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta
\leqslant (2\pi) \|\psi\|_{L^\infty}^4 \frac{1}{16} \|H\|_{L^2}^2.
$$
即
$$
\|u_1 u_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C \|f_1\|_{L^2(\mathbb{R})}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R})},
$$
其中常数 $C$ 只依赖于 $\psi$
不依赖于 $f_1,f_2$.
